Minkowski begyndte sin dirigentkarriere som ganske ung og stiftede allerede som 19-årig Les Musiciens du Louvre, som specialiserede sig i barokmusik. Med ensemblet har han udforsket fransk repertoire og Händel og senere udvidet til Mozart, Rossini, Offenbach og Wagner.
Han har dirigeret en lang række produktioner i Paris, herunder Platée, Idomeneo, Tryllefløjten, Ariodante, Giulio Cesare, Iphigénie en Tauride og Alceste på Opéra national de Paris; Sémélé, Figaros bryllup og Messias på Théâtre des Champs-Élysées; La Belle Hélène, La Grande-Duchesse de Gérolstein, Carmen og Les Fées på Théâtre du Châtelet; samt en lang række værker på Opéra Comique.
Hans internationale karriere tæller engagementer på bl.a. Festival d’Aix-en-Provence, La Monnaie i Bruxelles, Grand Théâtre de Genève, Opernhaus Zürich, Teatro La Fenice i Venedig, Teatro alla Scala i Milano, Gran Teatre del Liceu i Barcelona, Staatsoper Unter den Linden i Berlin, Salzburger Festspiele, Theater an der Wien, Wiener Staatsoper, De Nationale Opera i Amsterdam, Royal Opera House i London, San Francisco Opera og i Moskva. I januar 2023 dirigerede han Mozart/Da Ponte Trilogy på Opéra Royal de Versailles — kulminationen på et projekt, der begyndte i 2015 på Drottningholm Festival.
Han har samarbejdet med markante instruktører som Richard Eyre, Klaus Michael Grüber, Vincent Huguet, Laurent Pelly, Olivier Py, Dmitri Tcherniakov og Krzysztof Warlikowski. Under Mozartugen i Salzburg stod han bag nyskabende opsætninger af Mozarts sakrale værker og Händels Messias (iscenesat af Robert Wilson).
Han har desuden dirigeret nogle af verdens førende orkestre, herunder Cleveland Orchestra, Los Angeles Philharmonic, Tokyo Metropolitan Symphony Orchestra, Orchestra Ensemble Kanazawa, Mariinsky Orchestra, BBC Symphony Orchestra, Mahler Chamber Orchestra, Wiener Philharmoniker, Berliner Philharmoniker, SWR Symphonieorchester og mange andre.
I sæsonen 2024/25 åbner han med Die Schöpfung af Joseph Haydn på Oper Köln og drager derefter på Europaturné med Flagermusen af Johann Strauss II. Han optræder som gæstedirigent i Chicago og på turné med Basel Chamber Orchestra og leder desuden koncerter med Les Musiciens du Louvre i anledning af 150-året for Georges Bizets død. Blandt højdepunkterne fra den seneste sæson er Don Carlos i Grand Théâtre de Genève, Orpheus i Underverdenen i Elbphilharmonie samt Mitridate, Figaros bryllup og Don Giovanni i Berlin.
